шүүлэг

matematik

2011-6-6

Geriin daalgavar

Координатын эх дээр төвтэй нэгж радиустай тойргийг тригонометрийн нэгж тойрог гэнэ. P цэгийн абцисс, ординатыг ∝ өнцгөөр илэрхийлбэл x=cosα (P цэгийн абциссыг cosα ) y=sinα (P цэгийн ординатыг sinα ) Үндсэн болон нэмэлт томъёо. sin2α+cos2α=1 tgα=sinαcosα ctgα=cosαsinα tg∝∙ctg∝=1 1+tg2α=1cos2α 1+ctg2α=1sin2α Тригонометр фүнкцийн хоорондын хамаарал sinα=±1-cos2α cosα=±1-cos2α sinα=±tgα1+tg2α cosα=±11+tg2α sinα=±11+ctg2α cosα=±ctgα1+ctg2α tgα=1ctgα ctgα=1tgα tgα=±1-cos2αcosα ctgα=±1-sin2αsinα tgα=±sinα1-sin2α ctgα=±cosα1-cos2α Тригонометр фүнкцийн тэмдэг Мөч Фүнкц I II III IV sinα + + - - cosα + - - + tgα + - + - ctgα + - + - Тригонометр фүнкцийн тэгш ба сондгой чанар sin-α=-sinα сондгой фүнкц cos-α=cosα тэгш фүнкц tg-α=-tgα сондгой фүнкц ctg-α=-ctgα сондгой фүнкц Тригонометр фүнкцийн үелэх чанар sin∝=sin∝±2πn;n∈Z (2π үетэй) cos∝=cos∝±2πn;n∈Z (2π үетэй) tg∝=tg∝±πn;n∈Z (π үетэй) ctg∝=ctg∝±πn;n∈Z (π үетэй) Эмхэтгэлийн томъёо sinπ2+α=cos∝ cosπ2+α=-sin∝ sinπ2-α=cos∝ cosπ2-α=sin∝ sinπ+α=-sinα cosπ+α=-cosα sinπ-α=sinα cosπ-α=-cosα sin3π2+α= -cos∝ cos3π2+α=sin∝ sin3π2-α=-cos∝ cos3π2-α=-sin∝ sin2π+α=sinα cos2π+α=cosα sin2π-α=-sinα cos2π-α=cosα tgπ2+α=-ctg∝ ctgπ2+α=-tg∝ tgπ2-α=ctg∝ ctgπ2-α=tg∝ tgπ+α=tg∝ ctgπ+α=ctg∝ tgπ-α=-tg∝ ctgπ-α=-ctg∝ tg3π2+α=-ctg∝ ctg3π2+α=-tg∝ tg3π2-α=ctg∝ ctg3π2-α=tg∝ tg2π+α=tg∝ ctg2π+α=ctg∝ tg2π-α=-tg∝ ctg2π-α=-ctg∝ Аргументийн нийлбэр, ялгаврын томъёо sinα+β=sinα∙cosβ+cosα∙sinβ sinα-β=sinα∙cosβ-cosα∙sinβ cosα+β=cosα∙cosβ-sinα∙sinβ cosα-β=cosα∙cosβ+sinα∙sinβ tgα+β=tgα+tgβ1-tgα∙tgβ tgα-β=tgα-tgβ1+tgα∙tgβ ctgα+β=ctgα∙ctgβ-1ctgα+ctgβ ctgα-β=ctgα∙ctgβ+1ctgα-ctgβ Давхар өнцгийн томъёо sin2α=2sinα∙cosα cos2α=cos2α-sin2α cos2α=2cos2α-1 cos2α=1-2sin2α tg2α=2tgα1-tg2α ctg2α=ctg2α-12ctgα sin3α=3sinα-4sin3α cos3α=4cos3α-3cosα tg3α=3tgα-tg3α1-3tg2α ctg3α=ctg3α-3ctgα3ctg2α-1 Нийлбэр, ялгаврыг үржвэрт хувиргах томъёо. sinx+siny=2sinx+y2∙cosx-y2 sinx-siny=2sinx-y2∙cosx+y2 cosx+cosy=2cosx+y2∙cosx-y2 cosx-cosy=-2sinx-y2∙sinx+y2 tgx+tgy=sinx+ycosx∙cosy tgx-tgy=sinx-ycosx∙cosy ctgx+ctgy=sinx+ysinx∙siny ctgx-ctgy=sinx-ysinx∙siny Үржвэрийг нийлбэрт хувиргах томъёо. sinx∙siny=12cosx-y-cosx+y cosx∙cosy=12cosx-y-cosx+y sinx∙cosy=12sinx+y+sinx-y Зэрэг бууруулах томъёо. sin2x=1-cos2x2 sin3x=3sinx-sin3x4 cos2x=1+cos2x2 cos3x=3cosx+cos3x4 tg2x=1-cos2x1+cos2x ctg2x=1+cos2x1-cos2x Хагас өнцгийн томъёо. cosx2=1+cosx2 tgx2=1-cosx1+cosx sinx2=1-cosx2 ctgx2=1+cosx1-cosx tgx2=sinx1+cosx=1-cosxsinx ctgx2=1+cosxsinx=sinx1-cosx Хагас өнцгийн тангенсаар задлах. sinx=2 tgx21+tg2x2 tgx=2 tgx21-tg2x2 cosx=1-tg2x21+tg2x2 ctgx=1-tg2x2 2 tgx2 Нэмэлт томъёо. 1+cos2x=2cos2x 1-cos2x=2sin2x sinx∙cosx=12sin2x sinx+cosx2=1+sin2x acosx+bsinx=a2+b2∙cosx-α Үүнд; cosα=aa2+b2 , sinα=ba2+b2 , a2+b2≠0 asinx+bcosx=a2+b2∙sinx+α Үүнд; cosα=aa2+b2 , sinα=ba2+b2 , a2+b2≠0 Тригонометрийн урвуу фүнкцүүд y=arcsinx фүнкц Darcsinx=-1;1 Earcsinx=-π2;π2 y=arcsinx фүнкц тодорхойлогдох муж дээрээ өснө xϵ-π2;π2 бол arcsinsinx =x yϵ-1;1 бол sinarcsiny=y arcsin-x=-arcsinx сондгой фүнкц y=arccosx фүнкц Darccosx=-1;1 Earccosx=0;π y=arccosx фүнкц тодорхойлогдох муж дээрээ буурна xϵ0;π бол arccoscosx =x yϵ-1;1 бол cosarccosy=y arccos-x=π-arccosx тэгш ч биш сондгой ч биш фүнкц y=arctgx фүнкц Darctgx=-∞;∞ Earctgx=-π2;π2 y=arctgx фүнкц тодорхойлогдох муж дээрээ өснө xϵ-π2;π2 бол arctgtgx =x yϵ-∞;∞ бол tgarctgy=y arctg-x=-arctgx сондгой фүнкц y=arcctgx фүнкц Darcctgx=-∞;∞ Earcctgx=0;π y=arcctgx фүнкц тодорхойлогдох муж дээрээ эрс буурна xϵ0;π бол arcctgctgx =x yϵ-∞;∞ бол tgarctgy=y arcсtg-x=π-arcсtgx тэгш ч биш сондгой ч биш фүнкц Тригонометрийн урвуу фүнкцүүдийн хоорондын хамаарал xϵ0;1 бол arcsinx=arccos1-x2 arcsinx=arctgx1-x2 arcsinx=arcctg1-x2x xϵ0;1 бол arccosx=arcsin1-x2 arccosx=arctg1-x2x arccosx=arcctgx1-x2 x>0 бол arctgx=arcctg1x arctgx=arcsinx1+x2 arctgx=arccos11+x2 x>0 бол arcctgx=arctg1x arcctgx=arcsin11+x2 arcctgx=arccosx1+x2 Нэмэлт томъёо xϵ-1;1 байх x тооны хувьд arcsinx+arccosx=π2 Аливаа x тооны хувьд arctgx+arcctgx=π2 Тригонометр тэгшитгэлийн шийд бичих sinx=a ; a≤1 x=-1k∙arcsina+πk;kϵZ -π2≤arcsina≤π2 үед cosx=a ; a≤1 x=±arccosa+2πk;kϵZ 0≤arccosa≤π үед tgx=a ;x=arctga+ πk;kϵZ -π2<arctga<π2 ctgx=a;x=arcctga+ πk;kϵZ 0<arcctga<π Хялбар тригонометр тэгшитгэлийн шийд бичих sinx=1 x=π2+2πk;kϵZ sinx=0 x=πk;kϵZ sinx=-1 x=-π2+2πk;kϵZ cosx=1 x=2πk;kϵZ cosx=0 x=π2+πk;kϵZ cosx=-1 x=π+2πk;kϵZ tgx=1 x=π4+πk;kϵZ tgx=0 x=πk;kϵZ tgx=-1 x=-π4+πk;kϵZ ctgx=1 x=π4+πk;kϵZ ctgx=0 x=π2+πk;kϵZ ctgx=-1 x=-π4+πk;kϵZ Тригонометр тэнцэтгэл бишийн шийд бичих sinx≥a тэнцэтгэл бишийн шийд бичих -1≤a≤1 бол 2πk+arcsina≤x≤2k+1π-arcsina a>1 бол шийдгүй a<-1 бол -∞;∞ sinx≤a тэнцэтгэл бишийн шийд бичих -1≤a≤1 бол 2k-1π-arcsina≤x≤2πk+arcsina a>1 бол -∞;∞ a<-1 бол шийдгүй cosx≥a тэнцэтгэл бишийн шийд бичих -1≤a≤1 бол 2πk-arccosa≤x≤arccosa+2πk a>1 бол шийдгүй a<-1 бол -∞;∞ cosx≤a тэнцэтгэл бишийн шийд бичих -1≤a≤1 бол 2πk+arccosa≤x≤2πk+1-arccosa a>1 бол -∞;∞ a<-1 бол шийдгүй tgx≥a тэнцэтгэл бишийн шийд бичих Дурын a тооны хувьд πk+arctga≤x<π2+πk ;k∋Z tgx≤a тэнцэтгэл бишийн шийд бичих Дурын a тооны хувьд πk+π2≤x<π+arctga+πk ;k∋Z ctgx≥a тэнцэтгэл бишийн шийд бичих Дурын a тооны хувьд πk≤x<arcctga+πk ;k∋Z ctgx≤a тэнцэтгэл бишийн шийд бичих Дурын a тооны хувьд πk+arcctga≤x<π+πk ;k∋Z